Question

设函数f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，又f(x)在（0，﹢∞﹚上是减函数，且f(x)＜0

判断函数F(x)=1／f(x)在（﹣∞，0﹚上的单调性，并给出证明。

Answer 1

当x>0时
f(x)<0,且f(x)在（0，﹢∞﹚是减函数
所以F(x)=1／f(x)在（0，﹢∞﹚是增函数
又因F(x)=1／f(x)也是在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数
所以x<0时，F(x)是增函数

Answer 2

增函数

Answer 3

由题意知f(x)在（—无穷，0）上大于0，且单调递减，
所以F(X)在该区间递增

Answer 4

函数f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数，又f(x)在（0，﹢∞﹚上是减函数
所以函数f(x)在（-∞，0﹚上也是减函数，设x1<x2<0，则f(x1)>f(x2)且都小于零。
F(x1)-F(x2)=1／f(x1)-1／f(x2)=[f(x2)-f(x1)]/f(x1)*f(x2)<0
所以F(x1)<F(x2)，函数F(x)=1／f(x)在（﹣∞，0﹚上的单调递增。