Question

计算二重积分∫∫(y^2-z)dydz+（z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy 其中E 为锥面z=根号下（x^2+y^2) (0<=z<=h) 外侧

Answer 1

补一个面（构成封闭曲面），用高斯公式：
补面∑1：z=h 取上侧（构成封闭圆锥面的外侧）
x²+y²≤h²
原积分= ∫∫ (y^2-z)dydz+（z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy－∫∫ (y^2-z)dydz+（z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
∑+∑1 ∑1
由高斯公式，令P=y^2-z,Q=z^2-x,R=x^2-y,则
原积分=∫∫∫ (əP/əx+əQ/əy+əR/əz) dxdydz－∫∫ (y^2-z)dydz+（z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy
Ω ∑1
=∫∫∫ (0+0+0) dxdydz－∫∫ (x²-y)dxdy (∑1在dydz,dzdx 上的投影面积均为0)
Ω Dxy
其中，Dxy：{(x,y)|x²+y²≤h²}
原积分=0－∫∫ (x²-y)dxdy
Dxy
∵Dxy关于坐标轴对称
∴∫∫ ydxdy=0(由积分的对称性)
∴原积分=－∫∫x²dxdy
Dxy
=－1/2·∫∫ (x²+y²)dxdy
Dxy
=－1/2·∫(0,2π) dθ ∫(0,h) r²·rdr
=－1/2·∫(0,2π)[r^4/4|(0,h)] dθ
=－1/8·(2π)·h^4
=－πh^4/4
希望我的解答对你有所帮助
别忘了及时采纳哦！

Answer 2

2

追问

认真点可以吗？我挂科了，帮个忙