Question

已知圆c：（x-3)的平方+(y-4）的平方和直线L:kx-y-4k+3=0 (1)求证：不论K为何值，直线和圆总相交

（2）求K取何值时，直线被圆截得弦最短，并求最短弦长

Answer 1

(1)圆的方程怎么没有=号，半径？ 比如圆的方程为（x-3)^2+(y-4)^2=25,直线L:kx-y-4k+3=0 可以改写为y=k(x-4)+3,所以此直线恒过定点（4,3），将（4,3，）代入圆的方程的左边=2<25,所以点（4,3）在圆内，所以不论K为何值，直线和圆总相交。
（2)连接圆心C（3,4）与定点P（4,3），过P做CP的垂线，交圆于A,B，连接CA,CB,用两点间的距离公式算出CP的长（也可以先算出CP的斜率，就知道AB的斜率，写出AB的直线方程，用点到直线的距离公式算CP），而CA=5（半径），然后用勾股定理算出AP，再乘以2即可。

追问

不好意思圆的方程应该是（X-3)^2+(y-4)^2=4

追答

圆的方程为（x-3)^2+(y-4)^2=4,直线L:kx-y-4k+3=0 可以改写为y=k(x-4)+3,所以此直线恒过定点（4,3），将（4,3，）代入圆的方程的左边=2<4,所以点（4,3）在圆内，所以不论K为何值，直线和圆总相交。
（2)连接圆心C（3,4）与定点P（4,3），过P做CP的垂线，交圆于A,B，连接CA,CB,用两点间的距离公式算出CP的长（也可以先算出CP的斜率，就知道AB的斜率，写出AB的直线方程，用点到直线的距离公式算CP），而CA=2（半径），然后用勾股定理算出AP，再乘以2即可。