求1+1/根号3+1/根号5+1/根号7。。。。。。1/根号2n-1〈=根号2n-1
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当n1时,左边=1,右边=1,成立;
当n=2时,左边=1+1/√3=(√3+1)/√3, 右边=√3,∵4>3,∴2>√3,3>√3+1,√3>(√3+1)/√3,
∴左边<右边,成立;
设当n=k时成立,1+1/根号3+1/根号5+1/根号7。。。。。。1/根号2k-1〈=根号2k-1,
当n=k+1时,左边=1+1/根号3+1/根号5+1/根号7。。。。。。1/根号2k+1,
右边=√(2k-1)+1/√(2k+1)=[√(4k²-1)+1]/√(2k+1), ∵4k²-1<4k²+2k+1/4=(2k+1/2)²,∴√(4k²-1)<2k+1/2,∴2√(4k²-1)<4k+1,4k²-1+2√(4k²-1)+1<4k²+4k+1,[√(4k²-1)+1]²<(2k+1)²,
[√(4k²-1)+1]<(2k+1),[√(4k²-1)+1]/√(2k+1)<√(2k+1), 右边<√(2k+1), 则左边<右边<√(2k+1), 成立。综上1+1/根号3+1/根号5+1/根号7。。。。。。1/根号2n-1〈=根号2n-1成立。
当n=2时,左边=1+1/√3=(√3+1)/√3, 右边=√3,∵4>3,∴2>√3,3>√3+1,√3>(√3+1)/√3,
∴左边<右边,成立;
设当n=k时成立,1+1/根号3+1/根号5+1/根号7。。。。。。1/根号2k-1〈=根号2k-1,
当n=k+1时,左边=1+1/根号3+1/根号5+1/根号7。。。。。。1/根号2k+1,
右边=√(2k-1)+1/√(2k+1)=[√(4k²-1)+1]/√(2k+1), ∵4k²-1<4k²+2k+1/4=(2k+1/2)²,∴√(4k²-1)<2k+1/2,∴2√(4k²-1)<4k+1,4k²-1+2√(4k²-1)+1<4k²+4k+1,[√(4k²-1)+1]²<(2k+1)²,
[√(4k²-1)+1]<(2k+1),[√(4k²-1)+1]/√(2k+1)<√(2k+1), 右边<√(2k+1), 则左边<右边<√(2k+1), 成立。综上1+1/根号3+1/根号5+1/根号7。。。。。。1/根号2n-1〈=根号2n-1成立。
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