Question

解关于x的不等式:x∧2-(a+1/a)x+1<0(a≠0)请解出详细过程

Answer 1

一、当a＞0时，a＋1/a＞2，∴（a＋1/a）/2＞1，∴［（a＋1/a）/2］^2＞1。
　　原不等式可变成：［x－（a＋1/a）/2］^2＜－1＋［（a＋1/a）/2］^2，
　　∴－√｛［（a＋1/a）/2］^2－1｝＜x－（a＋1/a）/2＜√｛［（a＋1/a）/2］^2－1｝
　　∴－√［（a－1/a）/2］^2＜x－（a＋1/a）/2＜√［（a－1/a）/2］^2
　　①当0＜a＜1时，1/a＞a，此时不等式可变成：
　　　－（1/a－a）＜x－（a＋1/a）/2＜1/a－a，得：（3a－1/a）/2＜x＜（3/a－a）/2。
　　②当a＝1时，此时不等式可变成：
　　　x^2－2x＋1＜0，即：（x－1）^2＜0，这显然是不合理的，所以要舍去。
　　③当a＞1时，a＞1/a，此时不等式可变成：
　　　－（a－1/a）＜x－（a＋1/a）/2＜a－1/a，得：（3/a－a）/2＜x＜（3a－1/a）/2。

二、当a＜0时，－a＋1/（－a）＞2，∴［－a＋1/（－a）］/2＞1。
　　原不等式可变成：｛x＋［－a＋1/（－a）］/2｝^2＜－1＋｛［－a＋1/（－a）］/2｝^2
　　∴［x＋（a＋1/a）/2］^2＜［（a－1/a）/2］^2
　　∴－√［（a－1/a）/2］^2＜x＋（a＋1/a）/2＜√［（a－1/a）/2］^2
　　①当a＜－1时，a＜1/a，此时不等式可变成：
　　　－（1/a－a）＜x＋（a＋1/a）/2＜1/a－a，得：（a－3/a）/2＜x＜（1/a－3a）/2。
　　②当a＝－1时，此时不等式可变成：
　　　x^2＋2x＋1＜0，即：（x＋1）^2＜0，这显然是不合理的，所以要舍去。
　　③当－1＜a＜0时，a＞1/a，此时不等式可变成：
　　　－（a－1/a）＜x＋（a＋1/a）/2＜a－1/a，得：（1/a－3a）/2＜x＜（a－3/a）/2。

综上一、二所述，原不等式的解因a的取值范围不同而不同，具体是：
1、当a＜－1时，（a－3/a）/2＜x＜（1/a－3a）/2。
2、当－1＜a＜0时，（1/a－3a）/2＜x＜（a－3/a）/2。
3、当0＜a＜1时，（3a－1/a）/2＜x＜（3/a－a）/2。
4、当a＞1时，（3/a－a）/2＜x＜（3a－1/a）/2。
5、当a＝±1时，无解。