Question

初二数学几何证明

三角形ABC内一点P，满足角PBA=角PCA，PM，PN分别垂直于AB，AC；点D为BC的中点。
求证：DM=DN

Answer 1

分别取BP, CP中点 E,F 直角三角形斜边中线定理 2ME=BP 2NF=CP 中位线定理2DE=CP 2DF=BP 得出 ME=DF NF=DE 平行线定理 角EPF分别与角DEP 角DFP互补 得出角DEP=角 DFP 角NFP=角MEB=2∠PBA(已知条件) 2边 一夹角 得出△MED≌△NFD DM=DN

Answer 2

证明，如图添加辅助线MN,BN, 点G是MN中点,点O是BN中点
连接GO,DO
在△PMB与△PCN中
∵∠PBA=∠PCA PM垂直AB PN垂直AC
∴△PMB∽△PCN
∴MB:MP=NC:NP
在△MBN中，GO是中位线
所以MB:GO=2：1
同理NC:DO=2：1
∴MB:GO=NC:DO
∵∠GON=∠MBN
又∵∠DON=180°-∠CNO
∴∠DOG=180°-∠CNO+∠MBN
在四边形AMPN中
∠A+90°+90°+∠MPN=360°
∴∠MPN=180°-∠A=180°-（∠CNO-∠MBN）
∴∠MPN=∠DOG
因为对应边成比例，夹角相等
∴△MPN∽△GOD
∴∠PMN=∠OGD
∵OG//BM
∴∠OGN=∠BMG
∴∠DGN=∠OGN-∠OGD=∠BMG-∠PMN=90°
∴DG垂直MN.
又G是MN中点,
∴DM=DN

Answer 3

连接AP，易证得三角形MAP全等于三角形APN(直角、公共斜边)，所以有MP=NP，角APM=角APN，连接PD，因为角APM=角APN，所以角MPD=角NPD，加上MP=NP，PD为公共边（两边一夹角），证得三角形MPD全等于三角形NPD,所以DM=DN

追问

三角形MAP全等于三角形APN？明显错误

追答

没错呀！！！一个直角，一个公共斜边，全等的条件够了！！！！

追问

学过几何没有，自己画画，能全等吗

Answer 4

首先连接ap
∵pm⊥ab，pn⊥ac，ap共边，∴△apm≌△apn，∴∠pab＝∠pac，am=an。
又∠pba=∠pca，∴∠bpa=∠cpa，
∵∠pab＝∠pac ap共边 ∠bpa=∠cpa

∴△apb≌△apc，∴
有ab=ac，∴∠abc=∠acb，
又am=an，∴bm=cn，d为bc的中点，bd=cd
由sas可知，△mbd≌△ncd
∴dm=dn