Question

求f(x)=2x+1/x的值域

Answer 1

f(x)=2x+1/x
x≠0
f'(x)=2-1/x^2 = (2x^2-1)/x^2 = 2(x^2+√2/2)(x-√2/2)/x^2
-∞＜x＜-√2/2时，f'(x)＞0，f(x)单调增
-2＜x＜0时，f'(x)＜0，f(x)单调减
x=-√2/2时，极大值=2*(-√2/2)-√2=-2√2

0＜x＜√2/2时，f'(x)＜0，f(x)单调减
√2/2＜x＜+∞时，f'(x)＞0，f(x)单调增
x=√2/2时，极小值=2*(√2/2)+√2=2√2

值域（-∞，-2√2)，（2√2，+∞）

Answer 2

x≠0

Answer 3

(-∞,-2√2]∪[2√2,+∞)

Answer 4

当x>0时，利用均值不等式，当且仅当2x=1/x时，即x=√2/2时，取最小值2√2
当x<0时，利用均值不等式，当且仅当2x=1/x时，即x=-√2/2时，取最大值-2√2
所以值域为(-∞,-2√2]∪[2√2,+∞)

Answer 5

求取 绝对值 因为2x和1/x的符号相同
所以|f（x）|=|2x+1/x|=|2x|+|1/x|》2根号下(|2x|*|1/x|）=2根号下2
解不等式，得 f（x）》2根号2 或者f（x）《-2根号2

Answer 6

(-∞,-2√2]∪[2√2,+∞)