Question

关于函数零点问题

请问那个f（a）xf（b）<0 就存在零点 是怎么来的 这个公式怎么推导的呀 比如y1=log2x+2^x-7的零点个数 并求出大致区间 看不懂呀 求解 希望各位哥哥姐姐帮帮我

Answer 1

你少了一个条件，f(a)f(b)<0 就说明f(x)在(a,b)存在零点需要一个非常重要的前提条件，就是f在[a,b]是连续的。

连续函数有很强的介值性质，介于f(a)和f(b)之间的数由连续性它一定能在a,b之间取到
f(a)f(b)<0说明 0 就介于f(a)和f(b)之间，根据连续函数介值定理，a,b之间必有其零点

追问

这样来的呀 没有推导过程吗?

追答

有。。这个很容易推，为了让你更清楚点，我就只证明你原来的命题，（更一般的介值定理我就不证了）
f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)0
由于f(x)在[a,b]连续，所以对于任意的x∈[a,b]，如果f(x)>0，那么显然存在x的一个开邻域(x-d,x+d)，使得对于任意y∈(x-d,x+d)∩[a,b],f(y)>0。，如果f(x)0的开覆盖并（至少包含f(a)的某个领域所以不是空集） 与所有满足f(x)<0的开覆盖的并（至少包含f(b)的某个邻域，所以不是空集）是没有公共部分的，但是因为是有限开覆盖而且都不是空集，所以前者与后者都是[a,b]内的非闭开集，二者的并也是非闭开集，与二者的并是[a,b]闭集矛盾。证毕

追问

呵呵 大致了解 谢啦 还可以问你一个问题吗 二分法里为什么 要看la-bl<精确度 才能确定零点近似值呢？

追答

也是函数的连续性。。。因为连续函数在闭区间里满足一致连续性，所以只要自变量的取值点彼此之间差距充分小，那么对应的函数值彼此之间的差距也会同步地充分小，所以可以用扰动区间的大小来表示函数扰动的精度。事实上，连续性可以很容易推导出，存在常数C,使得|f(a)-f(b)|<C|a-b|但是这个条件推不出连续性，所以这个条件是连续的必要不充分条件，连续能推出它，但是它不能逆推到连续，所以二分法要能用，函数不一定要连续，只要满足后面那个条件存在固定的常数C，使得|f(a)-f(b)|<C|a-b|，对于讨论范围里任意的a,b成立——这个就是著名的李普希兹条件。
这个条件很容易看出|f(a)-f(b)|的精度是跟|a-b|同阶或者更高的，所以|a-b|的精度可以作为判定|f(a)-f(b)|精度的一个上界估计