Question

已知数列an的前n项和sn=n(n+1)(n+2)/3,试求(1)数列an的通项公式(2)数列1/an的前n项和

详细过程

Answer 1

解：(1)当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－S(n-1)＝n(n+1)，又当n＝1时，n(n+1)＝2＝a1，所以对任意的正整数n，都有an＝n(n+1)。
(2)由(1)得1/an＝1/n(n+1)＝1/n－1/(n+1)。
记数列{1/an}的前n项和为Tn，则Tn＝1/a1＋1/a2＋1/a3＋……＋1/an＝1－1/2＋1/2－1/3＋1/3－1/4＋……＋1/n－1/(n+1)＝1－1/(n+1)＝n/(n+1)。
即数列1/an的前n项和为n/(n+1)。

Answer 2

（1）n=1,a1=S1=2, n>1,an＝Sn－S(n－1)=n(n+1)(n+2)/3－n(n+1)(n－1)/3
＝n(n+1)[(n+2)－(n－1)]/3＝n(n＋1) 当n＝1时也满足此式
所以，an＝n(n＋1)
(2)1/an＝1/n(n＋1)＝1/n－1/(n＋1)
记Tn=∑1/an＝[(1－1/2)＋(1/2－1/3)＋(1/3－1/4)＋···＋(1/n－1/(n＋1))]＝1－1/(n＋1)
顺便问一下，你也是海迷吧？

Answer 3

a1=s1=1*2*3/3=2=1*2;
an=sn-s(n-1)=n(n+1)(n+2)/3-(n-1)n(n+1)/3=(n+2-n+1)n(n+1)/3=n(n+1),n>=2
所以，an=n(n+1),n>=1;
1/an=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1);
数列1/an的前n项和=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1)=n/(n+1).

Answer 4

（1）an=sn-s(n-1)=n(n+1)(n+2)/3-(n-1)n(n+1)/3=n(n+1)
（2）bn=1/an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
Tn=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=n/(n+1)

Answer 5

An=Sn-S(n-1)=n(n+1)(n+2)/3-(n-1)n(n+1)/3=n*(n+1)
即An=n*(n+1)
1/An=1/(n*(n+1))=1/n-1/(n+1)
用列项相消法sn=1-1/(n+1)