Question

f(x)=sin平方x+2根号3sin(x+π/4)cos(x-π/4)-cos平方x-根号3

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间
(2)求函数f(x)在[-π/12,25π/36]上的最大值和最小值,并指出相对应的x的值

Answer 1

解：
前提掌握：
sinx*sinx+cosx*cosx=1
cos2x=2*cosx*cosx-1=1-2*sinx*sinx
cos（x-π/4）=-sin（x-π/4+π/2）=-sin(x+π/4)
sin（x+π/4）*sin（x+π/4）=sinx*sinx
asinx+bcosx=根号下（a*a+b*b）sin（x+角度） 其中tan角度=b/a
好，开始做题
f(x)=sinx*sinx+2*根3sin（x+π/4）cos（x-π/4）-cosx*cosx-根3
=(sinx*sinx-cosx*cosx)+2*根3sin（x+π/4）cos（x-π/4）-根3
=1-2*cosx*cosx -2根3sin（x+π/4）*sin（x+π/4）-根3
=-cos2x+根3*【1-2sin（x+π/4）*sin（x+π/4）】-根3-根3
=-cos2x+根3*cos（2x+π/2）-2根3
=-cos2x-根3sin2x-2根3
=2sin（2x+π/3）-2根3

1.
化简结束，得最小正周期T=π
设X=2x+π/3，sinX的单调递减区间为[π/2加减2kπ，3π/2加减2kπ]
即
π/2加减2kπ<=2x+π/3<=3π/2加减2kπ
可得
f（x）的单调递减区间为[-π/12加减kπ,7π/12加减kπ]

2.
由上可得f（x）在(-π/12，5π/12〕上单调递减
当x=-π/12时得最大值 1-2根3 ；
当x=5π/12时得最小值 -1-2根3

即f（x）在(-π/12，5π/12〕的值域为（-1-2根3，1-2根3）

追问

=-cos2x+根3*【1-2sin（x+π/4）*sin（x+π/4）】-根3-根3
这部能再解释下吗?好复杂

Answer 2

（1）化简后为（根号3-1）*cos(2X) 所以T最小为PAI
（2）最小值1-根号3 X=PAI/2 最大值根号3-1 X=PAI/4