Question

关于x的平方乘以e的-ax方的定积分解法，x属于0到正无穷

Answer 1

∫x^2 e^(-ax)dx=(-1/a)∫x^2d[e^(-ax)]=(-1/a)[x^2e^(-ax)-∫e^(-ax)d(x^2)]

=(-1/a)x^2e^(-ax)+(2/a)∫xe^(-ax)dx

= (-1/a)x^2e^(-ax)+(2/a)(-1/a)xe^(-ax)+(2/a)(-1/a)∫e^(-ax)dx

= (-1/a)x^2e^(-ax)+(2/a)(-1/a)xe^(-ax)+(2/a)(-1/a)(-1/a)e^(-ax)+C=J

上式x用∞代入J=C

上式x用0代入J=2/a^3+C

因此：∫（0，∞）x^2 e^(-ax)dx ＝ 2 / a^3

∫x^2 e^(-ax)dx

无穷的应用

无穷或无限，数学符号为∞。来自于拉丁文的“infinitas”，即“没有边界”的意思。它在神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。

在神学方面，例如在像神学家邓斯·司各脱（Duns Scotus）的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。

Answer 2

y=x²*e^(-ax)
利用公式
∫uv'=uv-∫u‘v分步积分
u=x² v=-e^(-ax)/a(v’=e^(-ax))
原积分就是
∫x²*e^(-ax)=x²(-e^(-ax)/a)+∫2x*e^(-ax)/a
考虑到是定积分
而x²/e^(ax)在x为无穷大的时候为0(上下限一减也是0，不过a要大于0的)
所以前面的可以略去
∫x²*e^(-ax)=2/a*∫x*e^(-ax)
继续分步积分
∫x²*e^(-ax)=2/a*∫x*e^(-ax)=2/a[x(-e^(-ax)/a)+∫e^(-ax)/a](同理，前面一项也可以略去)
=2/a²[∫e^(-ax)]
=2/a²[(-e^(-ax)/a]
上下限相减就得到结果
=2/a³
好久没碰高数了 不知道算得对不对。。

Answer 3

∫x^2 e^(-ax)dx=(-1/a)∫x^2d[e^(-ax)]=(-1/a)[x^2e^(-ax)-∫e^(-ax)d(x^2)]
=(-1/a)x^2e^(-ax)+(2/a)∫xe^(-ax)dx
= (-1/a)x^2e^(-ax)+(2/a)(-1/a)∫xd[e^(-ax)]
= (-1/a)x^2e^(-ax)+(2/a)(-1/a)xe^(-ax)+(2/a)(-1/a)∫e^(-ax)dx
= (-1/a)x^2e^(-ax)+(2/a)(-1/a)xe^(-ax)+(2/a)(-1/a)(-1/a)e^(-ax)+C=J
上式x用∞代入J=C
上式x用0代入J=2/a^3+C
因此：∫（0，∞）x^2 e^(-ax)dx ＝ 2 / a^3

∫x^2 e^(-ax)dx