Question

在△ABC中，已知（a2+b2）sin（A-B)=（a2-b2）sin（A+B），△ABC为什么三角形？

Answer 1

解：(a²+b²)(sinAcosB-cosAsinB)=(a²-b²)(sinAcosB+cosAsinB)
a²sinAcosB-a²cosAsinB+b²sinAcosB-b²cosAsinB=a²sinAcosB+a²cosAsinB-b²sinAcosB-b²cosAsinB
a²cosAsinB=b²sinAcosB
∴a²cosA/sinA=b²cosB/sinB
∴ a²sinAcosA/sin²A=b²sinBcosB/sin²B
由正弦定理可以知道a/sinA=b/sinB ∴a²/sin²A=b²/sin²B
∴ sinAcosA=sinBcosB ∴ 2sinAcosA=2sinBcosB
∴ sin2A=sin2B
∴ 2A=2B 或者 2A=180°-2B
∴ A=B或者A+B=90°
∴ △ABC是等腰三角形或者直角三角形

Answer 2

解：由正弦定理，
a=2RsinA
b=2RsinB
代入上式得：
（sin²A+sin²B）sin（A-B)=（sin²A-sin²B）sin（A+B）
‘整理得：
sin²A[sin（A+B）-sin（A-B)]=sin²B[sin（A+B）+sin（A-B)]
故：
sin²AsinBcosA=sin²BsinAcosB
sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0
即sinAsinB(sin2A-sin2B)=0

由sinAsinB≠0
得sin2A=sin2B
故A=B或2A+2B=π
所以，△ABC是一个等腰三角形，或是一个直角三角形

追问

sin²A+sin²B）sin（A-B)=（sin²A-sin²B）sin（A+B）这步。怎么整理到sin²A[sin（A+B）-sin（A-B)]=sin²B[sin（A+B）+sin（A-B)]
这步？

追答

移项就可以得到了。

Answer 3

展开化简会得到sinAcosA=sinBcosB，所以A=B
即为等腰三角形

Answer 4

^表示平方

(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B),
利用正弦定理得
(sin^A+sin^B)sin(A-B)=(sin^A-sin^B)sin(A+B)
sin^A*(sin(A+B)-sin(A-B))=sin^B*(sin(A-B)+sin(A+B))
sin^A*2cosAsinB=sin^B*2sinAcosB
sin^A*2cosAsinB-sin^B*2sinAcosB=0
sinAsinB(sin2A-sin2B)=0
sin2A=sin2B
2A=2B 或2A+2B=180度
A=B或A+B=90度
故△ABC是等腰三角形或直角三角形

追问

sin^A*(sin(A+B)-sin(A-B))=sin^B*(sin(A-B)+sin(A+B))
怎么得出后面的？sin^A*2cosAsinB=sin^B*2sinAcosB

追答

sin^A*(sin(A+B)-sin(A-B))=sin^B*(sin(A-B)+sin(A+B))
因为sin(A+B) =sinAcosB +cosAsinB
sin(A-B) =sinAcosB -cosAsinB
将这两个公式代入就可以得到后面的式子。