Question

设二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象过点（-1,0），且对一切实数x,

设二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象过点（-1,0），且对一切实数x,不等式x≤f(x)≤（1+x²)/2恒成立。
求证：1/f(1)+1/f(2)+...+1/f(n)>2n/(n+2)

Answer 1

由题意f(-1)=a-b+c=0①
对于x≤f(x)≤(1+x²)/2
令x=1得到1≤f(1)≤1
所以f(1)=1
所以a+b+c=1②
①②相减得到
b=1/2
a+c=1/2⇒ac≤(a+c)²/4=1/16
f(X)=ax²+1/2x+c
f(X)-X=ax²-1/2x+c≥0恒成立
那么a>0 且Δ =1/4-4ac≤0 ⇒ ac≥1/16
上面已经说明了ac≤1/16
所以ac=1/16
a=c=1/4
f(X)=1/4x²+1/2x+1/4=(x+1)²/4

1/f(n)=4/(n+1)²>4/(n+1)(n+2)=4[1/(n+1)-1/(n+2)]
写出来就是
1/f(1)>4(1/2-1/3)
1/f(2)>4(1/3-1/4)
...
1/f(n)=4[1/(n+1)-1/(n+2)]
全部相加得到
1/f(1)+1/f(2)+...+1/f(n)>4[1/2-1/(n+2)]=2n/(n+2)
命题得证

Answer 2

？

Answer 3

一楼的回答很详细了，不要再求助啊

Answer 4

上楼牛X！！！