Question

给定凸四边形ABCD与形内一点O,且角AOB=角COD=120度,AO=OB,CO=OD,设K,L,M为线段AB,BC,CD的中点

证明三角形KLM是等边三角形

Answer 1

证明：连接AC、BD、OK、OM
∵∠AOB=∠COD
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC
∴∠AOC=∠BOD
∵AO=BO,∠AOC=∠BOD,CO=DO
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD
在△ABC中，∵K、L是AB、BC的中点，∴KL=1/2AC=1/2BD
同理LM=1/2BD
在△AOB中，AO=BO，K是AB的中点，∴OK⊥AB，∠BOK=1/2∠AOB=60°
∴在RT△AOK中，OK=cos60°BO=1/2BO
同理OL=1/2OD，∠COL=∠DOL=1/2∠COD=60°
∴OK=1/2BO，∠LOM=∠COL+∠COB+∠BOK=120°+∠BOC=∠BOD，OL=1/2OD
∴△KOM∽△BOD，所以KM=1/2BD
∴KM=LM=KL=1/2BD
∴△KLM是等边三角形