Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E是BC的中点．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）过点E作EF⊥DE，交AB于点F．若AC=3，BC=4，求DF的长．
不用三角函数解答！！！

Answer 1

1）证明：设圆心即AC中点为0，
因为圆O与AB交于D，所以DO为半径等于AO，所以∠A=∠ADO
∠COD=∠A+∠ADO（外角等于不相邻的两个内角只和）因为E为BC中点，
所以OE为三角形的中线，所以OE平行于AB，所以∠COE=∠A
因为∠COD=∠COE+∠DOE，所以∠COE=∠DOE，因为oc=od，所以三角形COE与三角形DOE全等，所以∠OCE=∠ODE=90°，所以ED⊥OD，所以DE是园O的切线
2）EF⊥DE，DE⊥DO，所以FE平行于DO，因为OE为中线，所以OE平行于AB，所以ODFE为平行四边形，所以DF=OE=½AB=2.5（AB根据勾股定理算出等于5）

Answer 2

(1)链接OD,OE
因为AC为直径，所以CD垂直于AB,所以Ao=OC=OD,BE=CE=DE
因为OE共线，所以三角形ODE全等于三角形OCE
所以角OCB=角ODE，所以DE为圆O的切线
(2)因为OD垂直于DE,EF垂直于DE所以FE平行于OD
因为O,E为AC,BC中点，所以AB平行于OE
所以OEFD为平行四边形，所以FD=OE=2.5