Question

如图,正方形ABCD,AE平分∠BAC交BD于F点,交BC于E点。（1）求证：OF=1/2 CE; (2)若BF=√2，求OF的长

如图

Answer 1

作OG//BC交AF与G，∠AOF=90°，∠FAO=22.5°，因而∠AFO=67.5°。∠GOF=∠OBE=45°，

因而∠FGO=67.5°=∠GFO，所以OG=OF   因为OG:EC=AO:AC=1/2, 所以OF=OG=1/2EC

∠BFE=∠AFO=67.5°，∠FBE=45°，因而∠BEF=45°=∠BFE，所以BF=BE=√2

BE+EC=√2（BF+OF）→√2+2OF=√2（√2+OF）  解得OF=1

Answer 2

考点：三角形中位线定理；正方形的性质．
专题：证明题．
分析：过O点作OP∥BC交AE于P，则OP= 1/2CE，再证OP=OF．
解答：解：过O点作OP∥BC交AE于P，则OP=1/2 CE，OP∥AD，
∴∠OPF=∠EAD=∠EAC+∠CAD=∠EAC+45°，
又∵∠OFP=∠ABD+∠BAE=∠BAE+45°，∠EAC=∠BAE，
∴∠OPF=∠OFP．
∴OP=OF．
∴OF= 1/2CE．
点评：此题主要考查三角形的中位线定理，关键是辅助线的作法．