Question

y=x^2-2x+2,求y+3/x+2的最大值与最小值

RT，没给X值的范围。

Answer 1

y=x²-2x+2
(y+3)/(x+2)=(x²-2x+5)/(x+2)
=(x²+2x-4x-8+13]/(x+2)
=[x(x+2)-4(x+2)+13]/(x+2)
=x-4+13/(x+2)
=(x+2)+13/(x+2)-6
x+2<0时，由均值不等式，得
当(x+2)=13/(x+2)时，即x=-2-√13时，(x+2)+13/(x+2)有最大值-2√13，函数有最大值ymax=-2√13-6
x+2>0时，由均值不等式，得
当(x+2)=13/(x+2)时，即x=√13-2时，(x+2)+13/(x+2)有最小值2√13，函数有最小值ymax=2√13-6
函数的值域为(-∞，-2√13-6]U[2√13-6，+∞)，因此没有最大值，也没有最小值。

追问

ok,是的！

Answer 2

由题可知，x≠-2
∵y=x^2-2x+2∴y+3/x+2=x^2-2x+5/x+2=(x+2)²-6(x+2)+13／x+2=(x+2)+13／(x+2)-6
当x＞-2时，x+2＞0 此时 (x+2)+13／(x+2)-6≥2√[=(x+2)×13／(x+2)]-6=2√13-6
当且仅当x+2=13／(x+2)即x=√13-2时等号成立
当x＜-2时，x+2＜0 此时(x+2)+13／(x+2)-6≤-2√[=(x+2)×13／(x+2)]-6=-2√13-6
当且仅当x+2=13／(x+2)即x=-√13-2时等号成立

追问

(x+2)²-6(x+2)+13／x+2=(x+2)+13／(x+2)-6

这是怎么转化的

Answer 3

如果X无范围，那么这个题目的最大值为正无穷，最小值为负无穷。学过极限就会知道，当X逼近0+时，y逼近2,而3/x逼近正无穷，所以y+3/x+2逼近正无穷；反之，当X逼近0-时，y逼近2,而3/x逼近负无穷，所以y+3/x+2逼近负无穷。