Question

如图,三角形ABC中,角C=90度,点O在BC上,以OC为半径的半圆切AB于点E

如图,三角形ABC中,角C=90度,点O在BC上,以OC为半径的半圆切AB于点E,交BC于点D,若BE=4,BD=2,求圆O的半径和边AC的长

Answer 1

答：

连接OE、CE和DE，连接AO

因为：CD是直径，E是切点

所以：∠CED=90°，OE⊥AB

因为：AC⊥BC

所以：AC是切线

因为：EO=CO，AO公共

所以：RT△AEO≌RT△ACO

所以：AE=AC

根据切割线定理有：
BE^2=BD*BC

所以：2BC=4^2=16

解得：BC=8

所以：CD=BC-BD=8-2=6

所以：半径R=CO=DO=CD/2=3

所以：半径R=3

因为：AE=AC，AB=AE+BE=AC+4

根据勾股定理：

AB^2=AC^2+BC^2

(AC+4)^2=AC^2+8^2

解得：AC=6

Answer 2

解：连接OE
∵OE是○O半径，与AB相切于点E
∴∠OEB=90°，OE=OD=OC
设OE=OD=OC=x
x²+4²=（x+2）²
∴x=3
∴BC=2x+BD=2×3+2=8
在RT△OEB中
cos∠B=4/3
∴在RT△ABC中
cos∠B=BC/AC=4/3
∴AC=6