Question

超难的高三数学题

17.（本题满分13分）
以A为圆心，以2cosθ（＜θ＜）为半径的圆外有一点B，已知|AB|＝2sinθ。设过点B且与圆A外切于点T的圆的圆心为M。
（Ⅰ）当θ取某个值时，说明点M的轨迹P是什么曲线；
（Ⅱ）点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，把|MN|的最小值记为f(θ)（不要求证明），求f(θ)的取值范围；
（Ⅲ）若将题设条件中的θ的范围改为（0＜θ＜＝，点B的位置改为圆内，其它条件不变，点M的轨迹记为P。试提出一个和具有相同结构的有意义的问题（不要求解答）。
18.（本题满分14分）
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，其体对角线长为l，试证：(l4－a4)(l4－b4)(l4－c4)≥512a4b4c4

Answer 1

17解：（Ⅰ）连MT、MA、MB，显然M、T、A三点共线，且|MA|－|MT|＝|AT|＝2cosθ。又|MT|＝|MB|，所以|MA|－|MB|＝2cosθ＜2sinθ＝|AB|。故点M的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2cosθ的双曲线靠近点B的那一支。
(Ⅱ)f(θ)＝|MN|min＝|LK|＝|LA|－|AK|＝sinθ＋cosθ－2cosθ＝sinθ－cosθ＝ 。
由 ＜θ＜ 知0＜f(θ)＜1。
（Ⅲ）设点M是轨迹P上的动点，点N是圆A上的动点，把|MN|的最大值记为g(θ)，求g(θ)的取值范围。
18. 证：左边＝(l2＋a2)(l2－a2)(l2＋b2)(l2－b2)(l2＋c2)(l2－c2)＝(a2＋b2＋c2＋a2)(b2＋c2)(a2＋b2＋c2＋b2)(a2＋c2)(a2＋b2＋c2＋c2)(a2＋b2)≥ ＝512a4b4c4，其中等号在a＝b＝c时取到。

Answer 2

既然超难了 才给5分 太财了你