Question

已知，在△ABC中，AM是中线，求证：AM＜二分之一（AB+AC）

延长AM至N使MN=AM,，连结BN
因为AM是三角形ABC的中线
所以BM=CM
因为AM=MN
∠AMC=∠ NMB
BM=CM
所以 △AMC≌△NMB(SAS)
所以 AC=BN
因为在△ABN中，AB+BN>AN
所以AB+AC>AN
因为AN=AM+MN=2AM
所以AB+AC>2AM
所以1/2(AB+AC)>AM
即AM<1/2(AB+AC)

Answer 1

证明：在三角形ABM中，根据三角形两边之差小于第三边，得
AB-BM<AM ①
在三角形ACM中，根据三角形两边之差小于第三边，得
AC-CM<AM ②
又 AM是BC边上的中线
从而 BM=CM ③
因此 ①+②得 AB+AC-BM-CM<2AM
由③ 得 AB+AC-2BM<2AM
因此 AM<1/2(AB+AC-2BM)=1/2(AB+AC)-BM
∴AM大于二分之一(AB+AC)-BM

Answer 2

因为AM是△ABC中线
所以BC=2AM
由三角形两边之和大于第三边
得AB+AC＞BC
则AB+AC＞2AM
则二分之一（AB+AC)＞AM
即AM＜二分之一（AB+AC）

Answer 3

向量AM=1/2(向量AB+向量AC)
向量的模之间存在如下不等式|向量+向量|<|向量|+|向量|
故|向量AM|=|1/2(向量AB+向量AC)|<(|向量AB|+|向量AC|)/2