Question

（2013?黄州区二模）如图，己知点F是正方形ABCD的边CD的中点，BE⊥AF于E，点G，H在直线AF上，且AE=EG=GH

（2013?黄州区二模）如图，己知点F是正方形ABCD的边CD的中点，BE⊥AF于E，点G，H在直线AF上，且AE=EG=GH．连CG和CH，则下列结论：①tan∠ABE=12；②∠CGH=45°；③∠DEH=45°；④∠GCH=60°，其中正确的是（　　）A．①②③B．①②④C．①②③④D．①③④

Answer 1

∵BE⊥AF，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵∠DAF+∠BAE=∠BAD=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∵F是CD的中点，
∴DF=FC=

1

2

CD，
∴tan∠ABE=tan∠DAF=

DF

AD

=

1

2

，故①正确；

连接BG，∵AE=EG，BE⊥AF，
∴BE垂直平分线段AG，
∴AB=BG，∠ABE=∠GBE，
∵AB=BC，
∴BG=BC，
过点B作BK⊥CG于K，
则∠CBK=∠GBK，
∴∠EBK=∠EBG+∠GBK=

1

2

∠ABC=

1

2

×90°=45°，
在四边形BKGE中，∠EGK=360°-90°×2-45°=135°，
∴∠CGH=180°-∠EGK=180°-135°=45°，故②正确；

连接DG，∵tan∠ABE=

AE

BE

=

1

2

，
∴BE=2AE，
∵AG=AE+EG=2AE，
∴AG=BE，
在△ABE和△DAG中，

AD＝AB ∠BAE＝∠DAF AG＝BE

，
∴△ABE≌△DAG（SAS），
∴DG=AE，∠DGA=∠AEB=90°，
∵AE=EG，
∴DG=EG，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴∠DEH=45°，故③正确；

连接DH，∵EG=GH，
∴DG垂直平分EH，
∴∠GDH=∠GDE=45°，
∵∠DGA=90°，
∴∠GDF+∠DFG=90°，
又∵∠DFG+∠DAF=180°-90°=90°，
∴∠GDF=∠DAF，
∴tan∠GDF=

GF

DG

=

1

2

，
∴GF=

1

2

DG，
∵DG=EG=GH，
∴GF=

1

2

GH，
∴GF=FH，
又∵F是CD的中点，
∴DF=FC=

1

2

CD，
∴四边形CHDG是平行四边形，
∴∠GCH=∠GDH=45°，故④错误；
综上所述，正确的有①②③．
故选A．