Question

已知函数f（x）=x 2 -4x+3．（Ⅰ）求证：对于任意的x（x∈R）都有f（sinx）≥0恒成立．（Ⅱ）若锐角a满足

已知函数f（x）=x 2 -4x+3．（Ⅰ）求证：对于任意的x（x∈R）都有f（sinx）≥0恒成立．（Ⅱ）若锐角a满足f（4sinα）=f（2cosα），求sinα．（Ⅲ）若f（2 x +2 -x +a）＜f（ 3 2 ）对于任意的x∈[-1，1]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵x≤1或x≥3时，f（x）≥0 ∵-1≤sinx≤1 ∴f（sinx）≥0 （Ⅱ）∵f（4sinα）=f（2cosα） ∴4sinα=2cosα或4sinα+2cosα=4且α是锐角 ∴ sinα= 2 5 5 或sinα= 3 5 （Ⅲ）g（x）=2 x +2 -x +a（x∈[-1，1]）是偶函数，且g（x）在[-1，0]是减函数，在[0，1]上是增函数． ∴ g(x ) min =2+a＞ 3 2 g(x ) max = 5 2 +a＜ 5 2 解得 - 1 2 ＜a＜0