Question

在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sinC?A2+cosC+A2的值是（　　）A

在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sinC?A2+cosC+A2的值是（　　）A．1B．12C．13D．-1

Answer 1

∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

b（c-a），
∴acsinB=b（a-c），
利用正弦定理化简得：sinAsinBsinC=sinB（sinA-sinC），
∵sinB≠0，
∴sinA-sinC=sinAsinC，
∴2cos

C+A

2

sin

C?A

2

=

1

2

[cos（A-C）-cos（A+C）]，并埋
又cos（A-C）=1-2sin²

A?C

2

，cos（A+C）=2cos²

A+C

2

-1，
∴答咐（sin

C?A

2

+cos

C+A

2

）²=sin²

A?C

2

+2sin

C?A

2

+cos

C+A

2

+cos²

A+C

2

=

1

2

[1-cos（C-A）]+

1

2

[cos（C-A）-cos（A+C）]+

1

2

[1+cos（C+A）]=1，
∵绝举蚂c-a＞0，∴C＞A，
∴0＜

C?A

2

＜90°，
∴sin

C?A

2

＞0，
又

C+A

2

=90°-

B

2

，且0＜90°-

B

2

＜90°，
∴cos

C+A

2

＞0，
∴sin

C?A

2

+cos

C+A

2

＞0，
则sin

C?A

2

+cos

C+A

2

=1．
故选A