Question

已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成角为30°，那么二面

已知直二面角α-PQ-β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB，∠BAP=45°，直线CA和平面α所成角为30°，那么二面角B-AC-P的正切值为（　　）A．2B．3C．12D．13

Answer 1

在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连接OB．
因为α⊥β，α∩β=PQ，所以CO⊥α，
又因为CA=CB，所以OA=OB．
而∠BAO=45°，所以∠ABO=45°，∠AOB=90°．从而BO⊥PQ．
又α⊥β，α∩β=PQ，BO?α，所以BO⊥β．
过点O作OH⊥AC于点H，连接BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．
故∠BHO是二面角B-AC-P的平面角．
因为CO⊥α，所以∠CAO是CA和平面α所成的角，则∠CAO=30°，
不妨设AC=2，则AO=

3

，OH=AOsin30°=

3

2

．
在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=

3

，
于是在Rt△BOH中，tan∠BHO=2．
故选：A．