Question

已知数列{an}是各项不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n-1，n∈N*，数列{bn}满足bn=

已知数列{an}是各项不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n-1，n∈N*，数列{bn}满足bn=1anan+1，Tn为数列{bn}的前n项和．（1）求a1，d和an；（2）求limn→∞Tn．

Answer 1

（1）

a

2 1

＝S1＝a1，
∵a₁≠0，
∴a₁=1

a

2 2

＝S3＝a1+a2+a3，
∴（1+d）²=3+3d，∴d=-1，2，
当d=-1时，a₂=0不满足条件，舍去．
因此d=2，
∴a_n=2n-1，n∈N^*
（2）∵bn＝

1

anan+1

＝

1

(2n?1)(2n+1)

＝

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1

)
∴Tn＝

1

2

[(1?

1

3

)+(

1

3

?

1

5

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1

)]＝

1

2

(1?

1

2n+1

)＝

n

2n+1

，
∴

lim

n→∞

Tn=

1

2