Question

高中的一道函数题，求解

设二次函数f（x-2）=f(-x-2)，且图像在y轴上截距为1，被x轴截得的线段长为2倍根号2，求f(x)的解析式

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c
由图像在y轴上截距为1
得1=c
有f(x)=ax^2+bx+1
由f（x-2）=f(-x-2)，
得a(x-2)^2+b(x-2)+1=a(-x-2)^2+b(-x-2)+1
得b=4a (1)
故f(x)=ax^2+4ax+1
令f(x)=0,
由韦达定理,
则x1+x2= -4,x1x2=1/a
又被x轴截得的线段长为2倍根号2
有|x2-x1|=2√2
所以(|x1-x2|)^2=(x1+x2)^2-4x1x2 =16-4/a=8,
解得a= 1/2
所以f(x)=( 1/2)x^2+2x+1

Answer 2

由f（x-2）=f(-x-2)得,f(x)关于x= -2对称，且在y轴上截距为1，所以可以设
f(x)=a(x+2)^2+1-4a=ax^2+4ax+1，令f(x)=0,则x1+x2= -4,x1x2=1/a,所以|x1-x2|=[ (x1+x2)^2-4x1x2 ]^(1/2)=(16-4/a)^(1/2)=2*2^(1/2),解得a= 1/2
所以f(x)= x^2/2+2x+1