Question

函数f(x)对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-3且当x＞0时，f(x)＜3

(1)f(x)在实数集R上是否为单调函数？请说明理由。(2)已知f(6)=-9,求f[(1/2)^2001]
答案写详细点

Answer 1

解：
（1）
设x2＞x1，
则f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2-x1)]-f(x1)=f(x2-x1)-3＜3-3=0，
所以f(x)在R上单调减；
（2）
取x=2，y=2得f(4)=2f(2)-3，
取x=4，y=2得f(6)=f(4)+f(2)-3=3f(2)-6=-9，
即f(2)=-1，
令数列{an}的通项为an=1/2^(n-2)。
取x=y=an得
f[a(n-1)]=2f(an)-3，
f[a(n-1)]-3=2[f(an)]-3]，f(a1)-3=f(2)-3=-4，
所以{f(an)-3}为以-4为首项，1/2为公比的等比数列，
f(an)-3=-4*1/2^(n-1)=-1/2^(n-3)，
f(an)=3-1/2^(n-3)，
f[(1/2)^2001]=f(a2003)=3-1/2^2000。
O(∩_∩)O~

Answer 2

（1）是，（2）2999/2^1998

Answer 3

解：
（1）是单调递减函数。
先求f(0),令x=y=0,原方程变为f(0)=f(0)+f(0)-3,解得f(0)=3;
然后令y=1，原方程变为f(x+1)=f(x)+f(1)-3,又因为当x＞0时，f(x)＜3，所以f(1)-3<0,所以f(x+1)<f(x),函数为单调递减