Question

关于函数解析式。

已知△ABC为正三角形,AB=2,P、Q依次为AB、AC上的点且线段PQ将△ABC分为面积相等的两部分,设AP=x,AQ=t,PQ=y,求：
（1）t与x的函数关系式；
（2）y与x的函数关系式；
（3）y的最小值与最大值。

Answer 1

1. S△ABC=根号3
S△APQ=(1/2)*sin60°xt=（1/2)*S△ABC=根号3/2 化简得t=2/x
连理0<x<2 0<2/x<2 可解得x的取值范围为1<x<2
2.余弦定理：2xtcosA=x²+t²-y² 化简得y²=x²+（4/x²）-2=(x-2/x)²+2
故y=根号[(x-(2/x))²+2] （1<x<2）
3.当函数可以看出 （x-(2/x))²取最大值与最小值时 y同时取得最大值与最小值
（x-(2/x))²=x²+（4/x²）-4=（x+(2/x))²-8
根据均值不等式 x+(2/x)≥2根号（x*（2/x))=2根号2 故y的最小值=根号（8-8+2）=根号2
当x=1时 x+(2/x)=3 当x=2时 x=3 故y的最大值=根号（9-8+2）=根号3