Question

设函数f（x）=sinx-cosx+1．（Ⅰ）若f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：n+1k＝1s

设函数f（x）=sinx-cosx+1．（Ⅰ）若f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，求a的取值范围；（Ⅱ）求证：n+1k＝1sinkπ2n+1≥32(n+1)4(2n+1)．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）=sinx-cosx+1．
设函数F（x）=sinx-cosx+1-ax，
∴F′（x）=cosx+sinx-a
∵f（x）≥ax在[0，π]上恒成立，
∴函数F（x）=sinx-cosx+1-ax≥F（0）=0，
∴只需F′（x）=cosx+sinx-a≥0恒成立，
即：a≤（sinx+cosx）_min，
∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴sinx+cosx的最小值为-

2

．
∴a≤-

2

．
∴a的取值范围（-∞．-

2

]；
（Ⅱ）（用数学归纳法证明）
当n=1时，sin

π

3

=

3

2

＞

2

2

，成立，
假设当n=m，m∈N^?时成立，即
sin

π

3

+sin

2π

5

+sin

3π

7

+…+sin

mπ

2m+1

≥

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