Question

如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，且∠CBD=30°，连接BD（1）求证：AB=AD；（2）设AD交BC于点P，若

如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，且∠CBD=30°，连接BD（1）求证：AB=AD；（2）设AD交BC于点P，若△ABP是等腰三角形，求∠ABC的度数．

Answer 1

（1）证明：作△BDC的外接圆，延长DE交圆于点F，连接CF、AF，如图所示，
则有∠DBC=∠DFC=30°．
∵DE垂直平分AC，
∴AF=FC，
∴∠AFE=∠CFE=30°，
∴∠AFC=60°，
∴△AFC是等边三角形，
∴AF=AC．
∵AB=AC，
∴AF=AC=AB，
∴点A为所作圆的圆心，
∴AB=AD．

（2）①若PA=PB，
则∠ABC=∠BAP．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠DAC=2∠DBC=60°，
∴∠APB=∠PAC+∠ACB=60°+∠ACB，
∴∠APB=60°+∠ABC．
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°，
∴3∠ABC+60°=180°，
解得：∠ABC=40°
②若BA=BP，
同理可得：∠ABC=20°．
③AB=AP，
此时P与C重合，
则D与E重合，
不符合题意，故舍去．
综上所述：当△ABP是等腰三角形时，∠ABC的度数为40°或20°．