Question

如图，已知R t△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD．（1）取BC的中点E，连接

如图，已知R t△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD．（1）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．（2）若AD=3，BD=4，求边BC的长．

Answer 1

解答：（1）证明：连接OD．
∵OD=OB（⊙O的半径），
∴∠OBD=∠BDO（等边对等角）；
∵AB是直径（已知），
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ADB=∠BDC=90°；
在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴BE=CE=DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠DBE=∠BDE（等边对等角）；
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，
∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°（等量代换）；
∵点D在⊙O上，
∴ED与⊙O相切；

（2）在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=4，
∴AB=5（勾股定理）；
在Rt△BDC和Rt△ADB中，∠ADB=∠BDC=90°，∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，∠BCD+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠BCD，
∴△BDC∽△ADB，
∴

BC

AB

=

BD

AD

．即

BC

5

=

4

3

，
∴BC=

20

3

．