Question

如图，直线 y= 1 5 x-1 与x轴，y轴分别相交于B、A，点M为双曲线 y= k x (x＞0) 上的一

如图，直线 y= 1 5 x-1 与x轴，y轴分别相交于B、A，点M为双曲线 y= k x (x＞0) 上的一点，且△AMB是以AB为底的等腰直角三角形．（1）求A、B两点坐标；（2）过M点作MC⊥x轴，MD⊥y轴，垂足分别为C、D；求证：△AMD≌△BMC；（3）求k值；（4）问双曲线上是否存在一点Q，使 S △OBQ S △AOQ = 5 4 ？若存在，求Q点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y= 1 5 x-1与x轴，y轴分别相交于B、A， ∴当x=0时，y=-1；当y=0时，x=5， ∴A点坐标的坐标为（0，-1），B点坐标为（5，0）； （2）∵△AMB是以AB为底的等腰直角三角形， ∴AM=BM，∠MAB=∠MBA=45°，∠AMB=90°， ∵∠MAD+∠MAB+∠OBA=90°， ∴∠MAD+∠OBA=45°， ∵∠MBC+∠OBA=45°， ∴∠MAD=∠MBC， ∵MC⊥x轴，MD⊥y轴， ∴∠ADM=∠BCM=90°， 在△AMD和△BMC中， ∠MAD=∠MBC ∠ADM=∠BCM AM=BM ， ∴△AMD≌△BMC（AAS）； （3）∵MC⊥x轴，MD⊥y轴， ∴∠COD=∠ODM=∠OCM=90°， ∴四边形OCMD是矩形， ∵△AMD≌△BMC， ∴AD=BC，DM=CM， ∴四边形OCMD是正方形， ∴OC=OD， ∵OA=1，OB=5， 设OD=x， 则AD=x+1，BC=5-x， ∵AD=BC， ∴x+1=5-x， 解得：x=2， 即OD=OC=2， ∴点M的坐标为：（2，2）， ∴k=xy=4； （4）存在． ∵k=4， ∴反比例函数的解析式为：y= 4 x ， 设Q点的坐标为：（a， 4 a ）， ∴S △OBQ = 1 2 ?OB? 4 a = 1 2 ×5× 4 a = 10 a ，S △AOQ = 1 2 ?OA?a= 1 2 ×1×a= 1 2 a， ∵ S △OBQ S △AOQ = 5 4 ， ∴4S △OBQ =5S △AOQ ， 即4× 10 a =5× 1 2 a， 解得：a=±4， ∵a＞0， ∴a=4， ∴Q点的坐标为（4，1）．