Question

已知实数abc,满足a+b+c=1,则a^2+b^2+c^2,ab+bc+ca,1/3的大小关系

Answer 1

已知a+b+c=1，两边平方得a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）=1
用a²+b²+c²-1/3=a²+b²+c²-1/3[a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）]
=2/3(a²+b²+c²-ab-ac-bc)
=2/3[a²+b²+c²-(1-a²-b²-c²)/2]
=(a²+b²+c²+1)/3 由于a,b,c都是实数，故一定大于0，则a²+b²+c²大于1/3
由于a²+b²+c²大于1/3，则1/3+2（ab+bc+ac）小于1，继而得到ab+bc+ac小于1/3

Answer 2

(a-b)²≥0 a²+b²≥2ab
(b-c)²≥0 b²+c²≥2bc
(c-a)²≥0 a²+c²≥2ac
相加
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ca)
a²+b²+c²≥ab+bc+ca (当a=b=c=1/3时取等号)
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1
ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca≤1
3(ab+bc+ca)≤1
ab+bc+ca≤1/3
a²+b²+c²=1-2(ab+bc+ca)≥1-2/3=1/3

综上，得a²+b²+c²≥1/3≥ab+bc+ca

Answer 3

(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)>=(a*1+b*1+c*1)^2=1
所以a^2+b^2+c^2>=1/3
又(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1/2[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]>=0，
所以ab+bc+ca<=1/3
综上，有a^2+b^2+c^2>=1/3>=ab+bc+ca

Answer 4

1.“满意回答”是错的！a可能不等于b可能不等于c!
根据公式(a+b/2)²>=ab可能得三种情况：
a=b时,ab有max----a=b=0.15;
a=c时,ac有max----b=c=0.25;
c=b时,cb有max----c=a=0.35
2.本答案乃根据“抢钱师奶”进行修改；
解：(a²+b²+c²)-(ab-ac-bc)=2[(a²+b²+c²)-(ab-ac-bc)]=(a-c)²+(a-b)²+(b-c)²>=0
所以a²+b²+c²>=ab+bc+ac
已知a+b+c=1，两边平方得a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）=1
用a²+b²+c²-1/3=a²+b²+c²-1/3[a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）]
=2/3 (a²+b²+c²-ab-ac-bc)
=1/3 [(a-c)²+(a-b)²+(b-c)²]>=0
所以a²+b²+c²>=1/3
所以1/3+2（ab+bc+ac）<=1——————a>m,a+b=n,m+b<n (a,b,m,n属于R)
所以a²+b²+c²>=1/3>=ab+bc+ac

Answer 5

a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)/2
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2
>=0
所以a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
a^2+b^2+c^2<=[(a+b+c)^(1/3)]/3=1/3
所以ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2<=1/3