Question

直线AB与椭圆x2/8+y2/4=1相交于A、B两点,且AB的中点为M(1,1)，求AB的方程

Answer 1

涉及弦中点问题，用设而不求的方法
先设A(x1,y1) B(x2,y2) M(1,1)
M是AB的中点
那么x1+x2=2 y1+y2=2①
x1²/8+y1²/4=1
x2²/8+y2²/4=1
两个式子相减
(x1+x2)(x1-x2)/8=-(y1+y2)(y1-y2)/4
(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/2(y1+y2)
左边是斜率，右边用①代换
k=-2/4=-1/2
那么直线方程就是y=-x/2+3/2
写成一般式x+2y-3=0

Answer 2

解：设A，B两点的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2),
则由题意得：x1^2/8+y1^2/8=1……⑴
x2^2/8+y2^2/8=1……（2）
（1）—（2）可得：
1/8(x1+x2)(x1—x2)+1/4(y1+y2)(y1—y2)=0,又AB的中点为M(1,1），
则x1+x2=2，y1+y2=2,。整理后得1/4(x1—x2)+1/2(y1—y2)=0,
∴直线的斜率k=（y1—y2）/(x1—x2)=—1/2.
∴AB方程为：y—1=—1/2（x—1）
即x+2y—3=0.

Answer 3

设直线AB方程为y=kx+b，把点（1,1）代入得：b=1-k。故方程为y=kx+1-k。下面求待定系数k。

直线方程代入椭圆方程得x2/8+（kx+1-k）2/4=1
整理得(2+k2)x2+2k(1-k)x+k2-2k-7=0
由根与系数关系知-2k(1-k)/(2+k2)=2 解得 k=-2
故所求直线为y=-2x+3