Question

怎样证明任意多边形外角和等于360°

Answer 1

证明：

n边形内角之和为(n-2)*180,设n边形的内角为∠1、∠2、∠3、...、∠n,对应的外角度数为：180-∠1、180°-∠2、180°-∠3、...、180°-∠n，外角之和为：

(180-∠1)+(180°-∠2)+(180°-∠3)+...+(180°-∠n)

=n*180°-(∠1+∠2+∠3+...+∠n)

=n*180°-(n-2)*180°

=360°

扩展资料：

多边形内角和定理证明

证法一：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形.

因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°

所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.（n为边数）

即n边形的内角和等于（n-2）×180°.（n为边数）

证法二：连结多边形的任一顶点A1与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形.

因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180°（n为边数）

所以n边形的内角和是（n-2）×180°

参考资料：百度百科-多边形的外角和

Answer 2

方法一：
因为N边形的一个顶点与其余N-1个顶点可分成N-2个三角形，
所以N边形内角和等于这N-2个三角形内角和
因为三角形的内角和是180度
所以N边形内角和是（N-2）*180度
延长N边形的N条边，则得到N个平角，这N个平角和等于N边形内角和加N边形外角和
因为平角等于180度
所以N边形外角和=N*180-（N-2）*180=360度
方法二：
在N边形内部找一点，并与N个顶点相连得到N个三角形，则N个三角形的内角和等于N边形内角和加上以这一点形成的周角
因为三角形的内角和是180度，周角等于360度
所以N边形内角和是（N-2）*180度
延长N边形的N条边，则得到N个平角，这N个平角和等于N边形内角和加N边形外角和
因为平角等于180度
所以N边形外角和=N*180-（N-2）*180=360度

Answer 3

证明：∵n边形外角等于（180-和他相邻的内角）.
∴180n-180（n-2）=180n-180n+360=360
180n是所有外角和内角的和,180（n-2）是所有内角和,减去就是外角和.
由上式可知任意多边形的外角和等于360度