Question

1*1+2*2+3*3...............+(n-1)*(n-1)+n*n的证明过程是什么?

自然数平方和的证明过程

Answer 1

1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n

2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

仅供参考：

1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

Answer 2

利用恒等式(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1

(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1
n^3 = (n-1)^3 + 3(n-1)^2 + 3(n-1) + 1
............................
2^3 = 1^3 + 3*1^2 + 3*1 + 1

上式相加

（n+1）^3 = 1^3 + 3(1^2+2^2+......+n^2) + 3(1+2+3+...+n) + n

整理得
1^2 + 2^2 + 3^2 + .... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

原式=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 4

首先1+2+......+n=n(n+1)/2，那么
(n+1)*(n+1)*(n+1)
-
n*n*n
=
3n*n
+
3n
+
1;
n*n*n
-
(n-1)*(n-1)*(n-1)
=
3(n-1)*(n-1)+3(n-1)+1;
........
2*2*2
-
1*1*1
=
3*1*1*1
+
3*1
+1;上面的n个式子左右相加，得到：
(n+1)*(n+1)*(n+1)-1*1*1
=
3(1*1
+
.....+n*n)
+
3(1+...+n)
+
n;
化简就是
1*1+2*2+3*3+……+n*n=n(n+1)(2n+1)/6