Question

用归纳法证明（1+x）^n 大于等于1+nx

Answer 1

这个是经典的伯努利不等式。　数学中的伯努利不等式是说：
对任意整数n≥0，和任意实数x≥-1，有 (1+x)^n≥1+nx 成立。可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1，x≠0，有严格不等式：(1+x)^n>1+nx。伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。
设x>-1,且x≠0,n是正整数,则(1+x)^n≥1+nx. 　
证明: 　　
当n=1,上个式子成立, 　　
设对n-1,有(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立；
则(1+x)^n=(1+x)^(n-1)(1+x）
>=[1+(n-1)x](1+x) 　　
=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2 　　
>=1+nx 　　
这就是说，对n时也成立。
所以问题得证。

Answer 2

（ 这里x有取值范围吧，比如x>-1）
证明：n=1时，（1+x）^1=1+x;
假设n=k时，不等式成立，即(1+x)^k>=1+kx.则当n=k+1时，
（1+x）^(k+1)=[(1+x)^k]（1+x）>=(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x
从而不等式对n=k+1成立。
有归纳法原理，不等式得证。

Answer 3

当n=1
1+x=1+x
所以当n=1时结论成立
假设对于n=k结论成立，(1+x)^k>=1+kx
当n=k+1
(1+x)^(k+1)=[(1+x)^k]*(1+x)
>=(1+kx)(1+x)
>=1+(k+1)x+kx^2
>=1+(k+1)x
所以当n=k+1结论成立
由归纳法得证，（1+x）^n 大于等于1+nx 对于所有n都成立

Answer 4

当n=1时，(1+x)^n=1+x>=1+nx，命题成立
假设n-1时成立，即(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x
则(1+x)^n=(1+x)^(n-1)*(1+x)
=(1+(n-1)x)*(1+x)
=1+nx+(n-1)*x^2 (由于当n>1时，(n-1)*x^2>=0)
>=1+nx
由归纳法得证