Question

xy,z均为正实数，求(xy+yz)/(x²+y²+z²)的最大值。急！！！求解！！！谢谢！！！

Answer 1

因x,y,z都是正数
得(2√2)(x+z)y=2(x+z)·(√2)y
≤(x+z)^2+((√2)y)^2 (当x+z=(√2)y时取“=”)
=(x+z)^2+2y^2

=x^2+2xz+z^2+2y^2
≤x^2+(x^2+z^2)+z^2+2y^2 (当x=z时取“=”)
=2(x^2+y^2+z^2 )
即(2√2)(x+z)y≤2(x^2+y^2+z^2)
(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)≤(√2)/2
当x+z=(√2)y 且x=z
即x=z=(√2/2)y时取“=”
所以在x=z=(√2/2)y>0时
(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)有最大值(√2)/2。

希望能帮到你！

Answer 2

http://zhidao.baidu.com/link?url=EqAo3QFYDZsgfzlAKcm9FSmmiW6bgPS4FUhzqStF4dki9bTyzvK6i09RJkgLnEfOjVqkDBcNQYV8DmqYWJa3B8Ofxakf3kZUA-53LGB2Sb_
这里有答案，谢谢！

追问

链接打不开啊……

追答

x^2+1/2y^2 >= √2 xy
z^2+1/2y^2 >= √2yz
相加得
x^2+y^2+z^2 >= √2(xy+yz)
所以(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2) <= √2/2
当x^2 = 1/2y^2 = z^2的时候取等号
这个才是正确答案，抱歉！

Answer 3

因x,y,z都是正数
得(2√2)(x+z)y=2(x+z)·(√2)y
≤(x+z)^2+((√2)y)^2 (当x+z=(√2)y时取“=”)
=(x+z)^2+2y^2
=x^2+2xz+z^2+2y^2
≤x^2+(x^2+z^2)+z^2+2y^2 (当x=z时取“=”)
=2(x^2+y^2+z^2 )
即(2√2)(x+z)y≤2(x^2+y^2+z^2)
(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)≤(√2)/2
当x+z=(√2)y 且x=z
即x=z=(√2/2)y时取“=”
所以在x=z=(√2/2)y>0时
(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)有最大值(√2)/2。