设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x),且在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0

试求方程f(x)=0在[-2008,2008]上根的个数,并加以证明你的结论.答案是802个,请问在得到f(x)是以10为周期的函数后详细怎么做?谢谢@(自己也不太明白的... 试求方程f(x)=0在[-2008,2008]上根的个数,并加以证明你的结论.
答案是802个,请问在得到f(x)是以10为周期的函数
后详细怎么做?谢谢@(自己也不太明白的请别回答……)
不好意思,打错题目了……因该是在[-2005,2005]上!!!!!!!
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sun333sun369
2011-08-24 · TA获得超过338个赞
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看来基本思路你都清楚了,我这里提醒几点:
1.
原来的函数的确是以10为周期,但是条件f(2-x)=f(2+x).f(7-x)=f(7+x)还说明该函数是以X=2和X=7轴对称的,这样根据条件: 1) f(x)是以10为周期的函数
2) f(x)以X=2和X=7轴对称
基本就可以想象函数的图形 函数有无数个对称轴...2,7,12,17,22,27...
你可以想|COS|大概就是相似的形状
2.下面主要解决你追问的问题:
由条件, 在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0,显然这两个根也满足关于x=2对称
另外,函数是关于X=7对称的, 所以在[7,14]上也只有两个根,那就是F(11)=F(13)=0
依此类推,你就可以得出所有根的数目了
来自:求助得到的回答
永远的Kirby
2011-08-12 · TA获得超过931个赞
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那么方程的解应是
x1=1+10a,x2=3+10b,(a,b∈Z)
多好,两类根都不带重的
那么令x1∈[-2008,2008],x2∈[-2008,2008]
a∈[-200,200],b∈[-201,200]
这样看有803个解啊
追问
如果存在a属于(7,10],使f(x)=0怎么证明它没有呢?(不好意思,打错题目了……因该是在[-2005,2005]上!!!!!!)
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原函数是关于7对称的啊,由于[4,7]上无解,[7,10]内自然也无解
正负2005的话也可以啊
令x1∈[-2005,2005],x2∈[-2005,2005]
a∈[-200,200],b∈[-200,200]
有802个解
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film21
2011-08-12 · TA获得超过5210个赞
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周期是10
在[0,10]上有两个解而且在这个区间的第2个和第4个是0
在[-10,0]也有两个解而且在这个区间的第2个和第4个是0
那么在[0,2005]上就有2×200+2=402 2001是0,2003也是0
那么在[-2005,0]上就有2×200=400 因为在[-2005,2000]上无0点的
总共有802个解!
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追问
如果存在a属于(7,10],使f(x)=0怎么证明它没有呢?
追答
额,我看错了 题目没问题的
我NC了。。。
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dahanshou
2011-08-12 · TA获得超过123个赞
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你知道周期是十的,然后分做正负考虑,正向的,1-10之间只有 f(1)=f(3)=0两个根,依次类推,正向的到2000一共400个,加上f(2001)=f(2003)=0 一共402个 ; 再看负向 由于关于二对称 所以负的是从-7 开始 f(-7)=f(-9)=0 一直到-2000 是400个 再加上-2007 我觉得应该一共是 803个 你看看呢
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追问
如果存在a属于(7,10],使f(x)=0怎么证明它没有呢?(不好意思,打错题目了……因该是在[-2005,2005]上!!!!!!)
追答
关于七对称   f(8)=f(6)  f(9)=f(5)  f(10 )=f(4)  因为 [0,7]上,只有f(1)=f(3)=0  所以   你懂的
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诗师想发想路圈4251
2011-08-12 · TA获得超过301个赞
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在区间[0,10]上有两个根,周期为10。在[-2000,2000]上有400个这样的周期,就有800个根。
f(2001)=f(1)=0,f(2003)=f(3)=0,应该有802个根
追问
如果存在a属于(7,10],使f(x)=0怎么证明它没有呢?
追答
f(x)关于x=7对称,7-4=10-7,其在(4,7],上没根,则在(7,10]上也没根。
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