Question

【线代证明题】设V是数域F上的一个一维向量空间，试证V到自身的映射δ是线性变换的充分必要条件是

设V是数域F上的一个一维向量空间，试证V到自身的映射δ是线性变换的充分必要条件是，对任何α∈V,都有δ（α）=λα，其中λ∈F是一常数。

Answer 1

【知识点】
若矩阵A的特征值为λ1，λ2，...，λn，那么|A|=λ1·λ2·...·λn

【解答】
|A|=1×2×...×n= n！
设A的特征值为λ，对于的特征向量为α。
则 Aα = λα
那么 (A²-A)α = A²α - Aα = λ²α - λα = (λ²-λ)α
所以A²-A的特征值为 λ²-λ，对应的特征向量为α

A²-A的特征值为 0 ，2，6，...，n²-n

【评注】
对于A的多项式，其特征值为对应的特征多项式。
线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。