Question

已知函数f(x)=xlnx 求f(x)的最小值 讨论关于x的方程f(x)-m=0的解的个数

Answer 1

定义域是x>0

f(x)=xlnx

求导f’(x)=1+lnx

令其等于0得x=1/e

x>1/e的时候y’>0  f(x)是增函数

0<x<1/e的时候y‘<0  f(x)是减函数

所以在x=1/e的时候f(x)取最小值为-1/e

上面讨论了f(x)≥-1/e

这里x趋于正无穷的时候f(x)趋于正无穷，这个容易看出来

x趋近0的时候，就要算一下了

lim(x→0)xlnx=lim(x→0)lnx/(1/x)(∞/∞型这里用洛必达法则)

lim(x→0)(1/x)/(-1/x²)=lim(x→0)(-x)=0

而且是从小于0的方向逼近0的

f(x)-m=0 也就是f(x)=m

结合图像得出结论

那么m<-1/e的时候方程无解

m=-1/e或者m≥0的时候方程只有一个解

0>m>-1/e的时候方程有两个解

Answer 2

f'(x)=lnx+1=0
x=1/e是f(x)的极值点
f(1/e)=-1/e
f(1)=0>f(1/e)
所以(1/e,-1/e)是f(x)的极小值点
即f(x)的最小值为-1/e
f(x)-m=xlnx-m=0
因为当0<x<1/e时，f(x)单调递减
当x>1/e时，f(x)单调递增
且当x趋向于正无穷时，f(x)也趋向于正无穷
当x趋向于0时，f(x)也趋向于0
所以当m<-1/e时，方程无解
当m=-1/e时，方程有唯一解
当-1/e<m<0时，方程有两个解
当m>=0时，方程有唯一解

Answer 3

f(x)'=lnx+1
故函数在定义域（0，+）范围内，（0，1/e)内单点递减，（1/e，+)内单调递增
故函数在x=1/e处有最小值-1/e

关于x的方程f(x)-m=0，
易知在X=0时，f(x)的值小于0但趋近于0，
故总结可知，
m=-1/e,有一个解，值为1/e
-1/e<m<0,两个
m=0或者m>0,唯一解