Question

定义在（-1，1）上的函数f(x).对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy));当x∈(-1,0)时，f(x)>0。

1.判断f(x)在（-1,1）上的奇偶性，理由。
2.判断函数f(x)在（0，1）上的单调性，理由。
3.若f（1/5)=1/2,求f(1/2)-f(1/11)-f(1/19）的值。

Answer 1

楼主您好。这道题的解答是这样的。
1）令x、y=0，=>f(0)=0；令y=-x，=>f(x)+f(-x)=0,奇函数。
2）设x1，x2，不妨设x1>x2；f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f((x1-x2)/(1-x1x2)); 因为x1，x2都在（0，1）内，所以括号内大于零；又因为x在（-1，0）内f>0，所以这里f<0.递减。
3）我观察到11+19=30可以做文章。所以不妨先合并f（1/11）+f（1/19），得f（1/7），再合并f（1/2）得f（5/13）.f（5/13）-f（1/5）+f（1/5）=f（1/5）+f（1/5）=1
楼主可以参考。

Answer 2

先令xy都等于0，可得f(0)=0，然后令y等于-x，就得到f(x)+f(-x)=0,这是奇函数。

追问

下面两问呢？