Question

初四二次函数数学题，救命啊！！！！！！！！！！！！！

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
回答得好加分

Answer 1

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
(1)解析：∵A(-2,0)，由题意可知，OB倾角为180-120=60°
∴B(2cos60°,2sin60°)=B(1,√3)
(2)解析：设f(x)=ax^2+bx+c
f(-2)=4a-2b+c=0, f(0)=c=0, f(1)=a+b+c=√3
三者联立解得a=√3/3,b=2√3/3,c=0
f(x)= √3/3x^2+2√3/3x
(3)解析：设C点存在，C(-1,y)
|OB|=2, |OC|=√(y^2+1), |BC|=√((√3-y)^2+4)
∴△BOC的周长T=√(y^2+1)+√((√3-y)^2+4)+2
令T’=y/√(y^2+1)+(y-√3)/√((√3-y)^2+4)=0
解得y=√3/3
即当y=√3/3，△BOC的周长取最小值
(4)解析：∵点P是抛物线上的动点，且在x轴的下方
|AB|=√(3^2+3)=2√3
AB方程：y=√3/3(x+2)==>√3x-3y+2√3=0
P到AB距离d=|√3x-3y+2√3|/(2√3)
d=|√3x-3(√3/3x^2+2√3/3x)+2√3|/(2√3)
=|-3√3x^2-√3x+2√3|/(2√3) =|-3x^2-x+2|/2
设h(x)= -3x^2-x+2==> h’(x)= -6x-1=0x=-1/6
∴当x=-1/6时h(x)取极大值
即当P(-1/6,-11√3/108)时，到AB距离最大
此时d=25/24
△PAB面积=1/2*25/24*2√3=25√3/24

Answer 2

（1）B（1，根号3）
（2）y=3分之根号3乘以x的平方+3分之2倍根号3
（3）存在 C（-1，3分之根号3）
（4）P(-1/6,-11√3/108) 25√3/24

Answer 3

1.设B点坐标为[X,Y]因为旋转120度,所以角BOX为60度,这样可得出X与Y的关系,又因为OB为2所解方程能酸出来B坐标
2.设2次函数的一般式,代入A.B.O三点酸出系数
3.存在,因为两点之间线段最短,点C就是对称轴与AB连线的交点
4.连接AB,做AB垂线,若交于抛物线的下方则存在,反之则不存在