Question

1. 已知：如图，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们

1. 已知：如图，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N,
（1）.当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图一），证明BM+DN=MN
（2）. ∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图二），线段BM,DN和MN有什么关系，加以证明.
（3）. ∠MAN.绕点A旋转到如图三时，线段BM,DN和MN有什么关系，加以证明.

Answer 1

BM+DN＝MN 成立
如图，延长CB到E，使BE=DN，连接AE
∵AB=AD,∠ABE=∠D=90°
∴△ABE≌△AND
∴AE=AN, ∠BAE=∠NAD
∵∠BAM+∠NAD=45°
∴∠BAM+∠BAE =45°
即∠EAM=∠MAN =45°
∴△AEM≌△ANM
所以ME＝MN
因为ME＝BE+BM＝DN+BM
所以DN+BM＝MN

Answer 2

(1) 连AC交MN与O点，
当BM=DN时，易证MN垂直AC，AC平分∠MAN
从而有四个直角三角形ABM、AOM、AON、ADN全等
所以BM=OM=ON=DN, 所以BM+DN=MN
(2) 首先证∠ANM=∠AND,∠AMN=∠AMB
易得∠AND=45°+∠CAN=∠ANM
同理∠AMB=45°+∠CAM=∠AMN
作AP垂直MN于点P
则有直角三角形APM与ABM全等，APN与ADN全等
PM=BM,PN=CN, 而PM+PN=MN，所以BM+DN=MN
(3) 当M、N处于CB，DC的延长线上
同(2) 一样，直角三角形APM与ABM全等，APN与ADN全等
PM=BM,PN=CN, 这时，PN-PM=MN，所以BM+DN>MN

追问

你可以把回答写的详细些吗，比如第二小题如何证∠ANM=∠AND,∠AMN=∠AMB

Answer 3

（2）解：MN=DN-BM．
理由如下：
在DN上截取DE=BM，连接AE；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM=∠D=90°，AB=AD，
又∵DE=BM，
∴△ABM≌△ADE，
∴AM=AE，∠BAM=∠DAE；
∵∠MAN=45°，∴∠DAE+∠BAN=∠MAB+∠BAN=45°，
∴∠EAN=∠MAN=45°，
又∵AM=AE，AN=AN，
∴△AMN≌△AEN，得MN=EN，
∴DN=DE+EN=BM+MN，即MN=DN-BM．

Answer 4

图呢？