Question

如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，

BD=1/4OA=根号2，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°.
（1）、直接写出D点的坐标；
（2）、设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）、当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A.EF，求△A.EF与五边形OEFBC重叠部分的面积.

Answer 1

既然你会第一问那我就不写了
（2）连结OD,由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则
∠DOE=∠COD=45°,又在梯形DOAB中，∠BAO=45°,∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°,又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2, ∴△ODE∽△AEF
∴OE/AF=OD/AE，即：X/Y=3/(4根号2-x)
∴y与x的解析式为：y=-1/3x^2+(4根号2)x/3
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.
①当EF=AF时,∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,
∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为
四边形EFBD的面积.
∵AE=OA-OE=OA-CD=4根号2-3/2根号2=5/2根号2
∴AF=5/2
S△AEF=25/8
∴S梯形AEDB=21/4
∴S四边形BDEF=17/8 (8分)
②当EF=AE时，此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ， 又DB∥EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=根号2
∴S△AEF=S△A'EF=1
③当AF=AE时，
四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.
∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=4根号2-3
过F作FH⊥AE于H,则
FH=4-3根号2/2
∴S△A‘EF=S△AEF=(41根号2-48)/4
综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为17/8或1或 41根号2-48)/4

PS:打这些用了将近半个钟，求加分，如果有问题再找我，有空的话尽量帮你

追问

...

Answer 2

如图，正方形OABC的边长为1，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2(a<0)的图像上，a的值为？

Answer 3

（1）作BH垂直x轴，因为角OAB=45，所以BH=AH=3/2根号2，
因为BD=根号2，所以AO=4BD=4根号2 ，所以BC=OH=AO-AH=4根号2-3/2根号2=5/2根号2，所以CD=BC-BD=5/2根号2-根号2=3/2根号2，所以D点的坐标是（3/2根号2，3/2根号2）
不过这个是直接写的，你上面的可以忽略。

追问

额 第一题我会的 关键是2、3两题

Answer 4

解：（1）过B作BM⊥x轴于M；

Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM= ；
∴BC=OA-AM=4 - = ，CD=BC-BD= ；
∴D点的坐标是 ；（2分）

（2）连接OD；如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；
又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF（4分）
∴ ，即：
∴y与x的解析式为： （6分）

（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；
①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A’E上（A’E⊥OA），
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；
∵
∴
∴
∴ ；
（也可用S阴影=S△A'EF-S△A'BD）（8分）
②当EF=AE时，如图（3），此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积．
∠DEF=∠EFA=45°，DE∥AB，又DB∥EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=
∴ （10分）
③当AF=AE时，如图（4），四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内．
∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积．
由（2）知△ODE∽△AEF，则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=
过F作FH⊥AE于H，则
∴
综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为 或1或 ．（12分）

追问

额 可不可以写清楚一点啊 貌似漏了不少~~~ 所以 你是要我自己写后面的答案喽？

Answer 5

（1）过B作BM⊥x轴于M；

Rt△ABM中，AB=3，∠BAM=45°；则AM=BM= ；
∴BC=OA-AM=4 - = ，CD=BC-BD= ；
∴D点的坐标是 ；（2分）

（2）连接OD；如图（1），由（1）知：D在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°；
又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-45°
∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF（4分）
∴ ，即：
∴y与x的解析式为： （6分）

（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况；
①当EF=AF时，如图（2），∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°；
∴△AEF为等腰直角三角形，D在A’E上（A’E⊥OA），
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为四边形EFBD的面积；
∵
∴ OE/AF=OD/AE，即：X/Y=3/(4根号2-x)
∴y与x的解析式为：y=-1/3x^2+(4根号2)x/3
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3种情况.
①当EF=AF时,∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°,
∴△AEF为等腰直角三角形.D在A’E上（A’E⊥OA）,
B在A’F上（A’F⊥EF）
∴△A’EF与五边形OEFBC重叠的面积为
四边形EFBD的面积.
∵AE=OA-OE=OA-CD=4根号2-3/2根号2=5/2根号2
∴AF=5/2
S△AEF=25/8
∴S梯形AEDB=21/4
∴S四边形BDEF=17/8 (8分)
②当EF=AE时，此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
∠DEF=∠EFA=45°， DE∥AB ， 又DB∥EA
∴四边形DEAB是平行四边形
∴AE=DB=根号2
∴S△AEF=S△A'EF=1
③当AF=AE时，
四边形AEA’F为菱形且△A’EF在五边形OEFBC内.
∴此时△A’EF与五边形OEFBC重叠部分面积为△A’EF面积.
由（2）知△ODE∽△AEF,则OD=OE=3
∴AE=AF=OA-OE=4根号2-3
过F作FH⊥AE于H,则
FH=4-3根号2/2
∴S△A‘EF=S△AEF=(41根号2-48)/4
综上所述，△A’EF与五边形OEFBC重叠部分的面积为17/8或1或 41根号2-48)/4