Question

求二次函数解析式

已知函数f(x)=x²+mx+n的图像过点(1,3),且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x）与y=f（x）的图像关于原点对称。求f（x)与g(x)的解析式

Answer 1

f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立 =>x=-1是f(x)对称轴。
f(-1+x)=(-1+x)^2+m(-1+x)+n=f(-1-x)=(-1-x)^2+m(-1-x)+n
=>m=2
图像过点(1,3),=>3=1+2+n
=>n=0
f(x)=x^2+2x
函数y=g(x）与y=f（x）的图像关于原点对称, =>g(x)=-f(-x)=-x^2+2x

Answer 2

对称轴：因为f(-1+x)=f(-1-x) -1+x+(-1-x)=-2 -2除以2=-1
-2分之（m）=-1 m=2
过点(1,3), 解得n=0
函数y=g(x）与y=f（x）的图像关于原点对称。
所以有g(x）=-x²+2x

Answer 3

f(x)=x^2+mx+n,
①函数f(x)=x^2+mx+n的图像过点(1，3)，则3=1+m+n；
②f(-1+x)=f(-1-x)，(-1+x)^2+m(-1+x)+n=(-1-x)^2+m(-1-x)+n,则(m-2)x=0，所以必有m=2,于是n=0.
所以f(x)=x^2+2x.

函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于原点对称：g(x)=-f(-x)=-x^2+2x.

Answer 4