Question

1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+.......+(x-1)^20的展开式中x^3项的系数

过程谢谢。~
答案为-5985

Answer 1

1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+.......+(x-1)^20的各项恰好构成了首项为1、公比为-(x-1)的等比数列，故
1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+.......+(x-1)^20=1*{1-[-(x-1)]^21}/[1+(x-1)]=[1-(1-x)^21]/x
要求1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+.......+(x-1)^20的展开式中x^3项的系数就是求[1-(1-x)^21]/x展开式中x^4项的系数
又[1-(1-x)^21]/x展开式中x^4项的系数为-C4 21=-(21*20*19*18)/(4*3*2*1)=-5985

Answer 2

(-1)^n(x-1)^n展开式中x^3项的系数为
-C(n 3)=-[n(n-1)(n-2)/6]
=-(1/6)(n³-3n²+2n)
系数和=-(1/6)[(1³+2³+...+20³)-3(1²+2²+...+20²)+2(1+2+...+20)]
=-(1/6)[20²×21²/4-3×20×21×41/6+20×21]
=-5985

嗯，答案是正确的，是-5985。

Answer 3

看成以1为首项，（1-x）为公比的等比数列！
用求和公式！
得[1-（1-x）^21]/x
其中x^3项的系数为
4
C 21 =[(-1)^17]*(21*20*19*18)/(1*2*3*4)
=-5985

Answer 4

1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+.......+(x-1)^20
=（1+（x-1）^21）/(1+(x-1))=(1+(x-1)^21)/x=1/x+(x-1)^21/x
((x^4)*((-1)^17)（21*20*19*18）/(1*2*3*4))/x=-5985x^3