Question

设不等式mx^2-2X-m+1<0对于满足-2≤m≤2的一切m的值都成立，求不等式的解集

Answer 1

将mx²-2x-m+1<0 转化为m(x²-1)<2x-1
1.当x²-1>0，x<-1或x>1时
m<(2x-1)/(x²-1)对|m|≤2恒成立
只需要让(2x-1)/(x²-1)>2即可
2x-1>2(x²-1)
2x²-2x-1<0
解不等式得(1-√3)/2<x<(1+√3)/2 ，又因为是在x>1时进行讨论的
所以1<x<(1+√3)/2

2.当x²-1<0，-1<x<1时
m>(2x-1)/(x²-1)对|m|≤2恒成立
即(2x-1)/(x²-1)<-2恒成立
2x-1>-2(x²-1)
2x²+2x-3>0
解不等式得x<(-1-√7)/2或x>(-1+√7)/2 ，又因为-1<x<1
所以(-1+√7)/2<x<1

3.当x²-1=0，即x=1或x=-1时
若x=1，m-2-m+1=-1<0，恒成立；
若x=-1，m+2-m+1=3＜0，不成立

综合三种情况得，(-1+√7)/2<x<(1+√3)/2

Answer 2

f(m)=(x^2-1)m-2x+1可看成是关于m的一条直线，对-2≤m≤2的一切m的值f(m)<0都成立，则只需
f(-2)<0，f(2)<0，即2x^2+2x-3>0,2x^2-2x-1<0
求解取交集即可