Question

设a，b。c属于（0，正无穷）且a+b+c=1，求证（1/a-1）（1/b-1）（1/c-1）≥8

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Answer 1

我来试试吧...

证明： 要证明 （1/a-1）（1/b-1）（1/c-1）≥8
通分 (1-a)(1-b)(1-c)≥8abc
等价于证明
1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)-abc≥8abc
代入a+b+c=1
等价于证明
ab+bc+ac≥9abc

下证明
a²+b²≥2ab
可得（a²+b²）c≥2abc
同理可得（a²+c²）b≥2abc
（b²+c²）a≥2abc
三式左右相加得
（a²+b²）c+（a²+c²）b+（b²+c²）a≥6abc
上式两端同时加上3abc，得
（a²+b²）c+（a²+c²）b+（b²+c²）a+3abc≥9abc
重新排一下顺序，再把3abc拆成三个abc,得
（a²+b²）c+（a²+c²）b+（b²+c²）a+3abc
=(abc+a²c+a²b)+(b²c+abc+b²a)+(c²b+c²a+abc)
=(bc+ac+ab)a+(bc+ac+ab)b+(bc+ac+ab)c
=(bc+ac+ab)(a+b+c)

故(bc+ac+ab)(a+b+c)≥9abc
又a+b+c=1，则(bc+ac+ab)≥9abc

Answer 2

1/a-1=(a+b+c)/a-1=(b+c)/a
所以
（1/a-1）（1/b-1）（1/c-1）
=（a+b）（b+c）（c+a）/abc
>=2根号ab 2根号bc 2根号ca）/abc
=8