AB为圆O的直径,且弦CD垂直AB于点E,过点B的切线与AD的延长线交于点F,若cosC=4/5,DF

AB为圆O的直径,且弦CD垂直AB于点E,过点B的切线与AD的延长线交于点F,若cosC=4/5,DF=3,求圆O的半径... AB为圆O的直径,且弦CD垂直AB于点E,过点B的切线与AD的延长线交于点F,若cosC=4/5,DF=3,求圆O的半径 展开
陶永清
2011-08-18 · TA获得超过10.6万个赞
知道大有可为答主
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解:连BD
因为AB是直径
所以BD⊥AF
因为BF切圆O于B
所以∠C=∠DBF=∠A
因为cosC=4/5,
所以cos∠DBF=4/5
所以sin∠DBF=3/5
又DF=3
所以BF=5
又cosA=cosC=4/5
所以tanA=3/4
所以BF/AB=3/4
所以AB=20/3
即圆O的半径为10/3
无可挽救的失败
2012-04-22
知道答主
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(1)证明:
(方法一)连接AC.
∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CD于E,
由垂径定理得,点E是CD的中点;
又∵M是AD的中点,
∴ME是△DAC的中位线,
∴MN∥AC.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.
∴∠MNB=90°,即MN⊥BC;
(方法二)∵AB⊥CD,∴∠AED=∠BEC=90°.
M是AD的中点,
∴ME=AM,即有∠MEA=∠A.
∵∠MEA=∠BEN,∠C=∠A,
∴∠C=∠BEN.
又∵∠C+∠CBE=90°,
∴∠CBE+∠BEN=90°,
∴∠BNE=90°,即MN⊥BC;
(方法三)∵AB⊥CD,∴∠AED=90°.
由于M是AD的中点,
∴ME=MD,即有∠MED=∠EDM.
又∵∠CBE与∠EDA同对,∴∠CBE=∠EDA.
∵∠MED=∠NEC,
∴∠NEC=∠CBE.
∵∠C+∠CBE=90°,
∴∠NEC+∠C=90°,
即有∠CNE=90°,即MN⊥BC.

(2)解:连接BD.
∵∠BCD与∠BAF同对,∴∠C=∠A,
∴cos∠A=cos∠C=.
∵BF是⊙O的切线,∴∠ABF=90°.
在Rt△ABF中,cos∠A==,
设AB=4x,则AF=5x,由勾股定理得:BF=3x.
∵AB是⊙O的直径,∴BD⊥AD,
∴△ABF∽△BDF,
∴,
即,
x=.
∴直径AB=4x=4×,
则⊙O的半径为.
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